Modèles économétriques
Si, en janvier 1926, un investisseur avait placé 1 $ dans des bons du Trésor américain à un mois – l’un des actifs les plus « sûrs » au monde – et avait continué à réinvestir le produit dans des bons du Trésor mois après mois jusqu’en décembre 2001, l’investissement de 1 $ serait passé à 14 $. Si, d’autre part, l’investisseur avait investi 1 $ dans le marché boursier, par exemple, le S & P 500, et avait continué à réinvestir le produit dans le marché boursier mois par mois au cours de la même période de soixante-dix ans, l’investissement de 1 $ aurait atteint 1 918 $, une somme considérablement plus importante.
Supposons maintenant que chaque mois, un investisseur puisse dire à l’avance lequel de ces deux investissements produirait un rendement plus élevé pour ce mois, et tire parti de cette information en changeant le total courant de son investissement initial de 1 $ dans l’actif à rendement plus élevé, mois par mois.
Quel serait le rendement d’un investissement de 1 $ dans une telle stratégie de placement « parfaite » de janvier 1926 à décembre 2023 ?
La réponse surprenante – 55 823 861 439 (oui, plus de 55 milliards de dollars pour une mise de 1$; ce n’est pas une erreur typographique) - est souvent un choc, même pour le gestionnaire de placements professionnel le plus expérimenté.
Bien sûr, aucun investisseur ne détient une parfaite clairvoyance. Mais cet exemple extrême suggère que même une capacité modeste à prévoir les rendements des actifs financiers peut être largement récompensée. Pour cette raison, les modèles quantitatifs des risques et des avantages des investissements financiers - maintenant connus collectivement sous le nom de technologie financière ou ingénierie financière - sont devenus pratiquement indispensables pour les investisseurs institutionnels du monde entier. Nous souhaitons étendre la portée de ces instruments à l’investisseur particulier.
La théorie et les modèles économétriques peuvent être considérés comme des outils essentiels pour comprendre et tenter de prévoir les variations des cours boursiers. L’avantage de ces techniques sur les autres modes de choix des actions est qu’elles permettent d’appréhender les variations du cours des actions de manière froide, cohérente et raisonnée. C’est un gage de succès à moyen ou à long terme.
Nous avons appliqué ces techniques à différentes catégories d’actifs : S&p500, Nasdaq, or et actions minières aurifères. Le but de ces procédures est d’obtenir une équation qui peut expliquer le comportement d’un actif (S&P500, actions minières, etc.) appelé variable indépendante comme une combinaison de variables dépendantes (taux d’intérêt, valeurs décalées de S&p500, etc.)
Prix de l’actif = b0+b1V1+b2V2+...+BnVn+ résidus
Les observations sont recueillies sur une base mensuelle, trimestrielle et annuelle. Le champ d’analyse est vaste allant de 1966 à 2023 pour les modèles mensuel et trimestriel. Le modèle annuel va de 1905 à 2023. En conséquence, un très grand nombre de marchés haussiers et baissiers sont pris en compte, ce qui donne du crédit aux modèles.
Nous utilisons le logiciel de traitement statistique NCSS afin de fabriquer nos modèles qui reposent avant tout sur des analyse de corrélation multiple et des procédures ARIMA de type Box-Jenkins.
Ces modèles mathématiques sont propriétaires, Il est néanmoins possible de présenter 8 principes qui les régissent.
Principe 1 Approche Hendry/ERP et multi-colinéarité
Nous commençons par un modèle général doté de beaucoup de variables puis nous réduisons le modèle en éliminant la variable explicative dont le coefficient (T Value) est le moins significatif. Cette approche, du général au simple, a été appelée l’approche Hendry/ERP. Nous partons d’un modèle dynamique général qui est sur-paramétré, puis nous réalisons une simplification via les tests Wald et t tests. Cela nous permet d’écarter les variables insignifiantes afin d’améliorer la précision des autres variables et de réduire la multi-colinéarité qui peut être présente.
Il y avait des preuves de multi-colinéarité dans la régression de bon nombre de nos modèles. Néanmoins, sur l’ensemble de la période d’échantillonnage, la corrélation entre les facteurs indépendants n’est pas excessive. Sur l’ensemble des variables explicatives et de leur corrélation croisée, peu de corrélations dépassent 0,5. Les signes des variables explicatives sont pour la plupart conformes aux attentes. Par conséquent, bien que la multi-colinéarité soit un problème et puisse influencer certains des résultats, elle ne détermine pas la majorité des résultats. L’effet de la multi-colinéarité entre les variables explicatives est d’augmenter les erreurs-types des coefficients de régression et de réduire les t-statistiques, rendant ainsi les coefficients moins significatifs (et peut-être même insignifiants) pour des variables devant figurer dans l’équation.
Une façon de réduire son impact consiste à raisonner sur des valeurs réelles, déflatées de la hausse des prix.
Principe 2 préférence pour les modèles utilisant les techniques de Weighted Regression
La méthode des moindres carrés ordinaires (OLS Method) est populaire en raison de sa facilité d’utilisation. Cette méthode peut ainsi être utilisée sous Excel. Cependant, les méthodes de régression traditionnelles ne tiennent pas bien compte de l’occurrence des valeurs aberrantes (valeurs qui se situent en dehors de la plage de la majorité des données). Les valeurs aberrantes se produisent fréquemment dans les données réelles et peuvent passer inaperçues sans une inspection ou un filtrage minutieux. Les coefficients de régression de l’équation peuvent être alors considérablement affectés par la présence de valeurs aberrantes et les méthodes OLS n’offrent aucune résistance aux valeurs hors norme.
Si l’hypothèse d’homoscédasticité est rejetée (un fait courant en ce qui concerne les séries chronologiques financières), nous sommes confrontés au problème d’essayer de trouver des procédures d’estimation alternatives supérieures aux moindres carrés ordinaires (présents dans Excel). L’hétéro-chédasticité, c’est-à-dire une variance non constante ou bien des périodes alternatives de volatilité faible et élevée ont été trouvée pour tous les modèles (SP&P500, Nasdaq, Gold). Nous avons donc décidé d’utiliser les moindres carrés pondérés (WLS Method) pour obtenir des estimations cohérentes et asymptociellement plus efficaces des paramètres de l’équation B0, B1, B21 ... Bn comme décrits dans l’introduction.
Principe 3 Mesure des écarts
Nos modèles ne prétendent pas prédire les variations de prix futures exactes d’un actif. Ce que nos modèles fournissent est le prix d’équilibre d’un actif (S&P500, Nasdaq, etc.) mois après mois, trimestre après trimestre ou année après année.Il est intéressant de mesurer l’écart entre la valeur réelle et la valeur prévue de l’actif car cet écart nous renseigne sur la composante spéculative dans la formation des prix. Il a en outre pouvoir prédictif sur lequel nous pouvons nous appuyer une fois que certains seuils (intervalles de confiance en termes statistiques) ont été franchis. À un certain moment, l’augmentation des prix tend à se transformer en une bulle spéculative qui est une augmentation insoutenable du prix provoquée par le comportement d’achat des investisseurs plutôt que par de véritables informations fondamentales capturées par les variables explicatives.
Concernant l’indice S&P500 qui donne le la au niveau mondial y compris pour le CAC français bien entendu, les valeurs les plus fortes des indices des modèles mensuel et annuel ont été :
Modèle Modèle
Mensuel annuel
11 décembre 1972 1.06 1.30 Krach de 1973-1974
10 novembre 1980 1.14 1.25
25 aout 1987 1.14 1.30 Krach de 1987
24 mars 2000 1.14 1.35 Krach internet
11 oct 2007 1.07 1.18 Krach des sub primes
19 février 2020 1.04 1.21
5 novembre 2021 1.08 1.2
Les points bas correspondant au point de retournement à la hausse du marché ont été :
Modèle Modèle
Mensuel annuel
15 décembre 1974 0.83 0.70
12 aout 1982 0.96 0.76
15 novembre1987 0.78 0.72
9 octobre 2002 0.83 0.66 fin du krach internet
21 novembre 2008 0.69 0.46 outlier ou valeur aberrante
23 mars 2020 0.74 0.71
Les modèles d’évaluation des mines d’or donnent les résultats suivants :
Retournement à la baisse
19 aout 1974 1.22 1.60 outlier ou valeur aberrante
10 octobre 1980 1.37 1.31
17 janvier 1983 1.29 1.22
3 aout 1987 1.25 1.30
13 jan 1994 1.18 1.28
4 juin 2002 1.11 1.74
2 février 2006 1.16 1.27
9 novembre 2010 1.20 1.18
12 aout 2016 1.23 1.21
5 aout 2020 1.36 1.29
Retournement à la hausse
24 aout 1976 0.71 0.65
21 juin 1982 0.71 0.58
18 jan 1993 0.92 0.88
9 décembre 1997 0.82 0.85
28 octobre 2008 0.54 0.58 outlier ou valeur aberrante
7 septembre 2018 0.90 0.76
26 septembre 2022 0.88 0.77
Nous conseillons le calcul d’une moyenne entre indice mensuel et indice annuel afin d’évaluer la sur- ou sous-évaluation des indices boursiers (S&P500, mines d’or).
Principe 4 Transfer model
L’analyse des séries chronologiques et les techniques de régression multiple peuvent être combinées pour produire une meilleure prévision que ce qui serait possible avec l’utilisation de l’une ou l’autre de ces techniques seules. L’idée est de construire un modèle d’Arima pour les résidus de l’équation de régression. Ce modèle double est susceptible de fournir de meilleures prévisions puisqu’il comprend à la fois une explication structurelle (basée sur des variables économiques observables) de la formation du prix d’un actif (mines d’or, S&p500) et une explication temporelle de la partie de la variance (analyse des résidus) qui ne peut être expliquée par des facteurs macro-économiques connus. Les résidus sont analysés et projetés à l’aide de procédures statistiques dénommées « ARIMA ».
Principe 5 Justification de la variable de croissance sur 9 mois
Les modèles tiennent compte du phénomène d’amplification qui résulte de la spéculation basée sur les gains en capital récents, phénomène particulièrement important pour les mines d’or.Il y a un processus d’auto-amplification sur le marché boursier qui se superpose aux facteurs économiques traditionnels. Ainsi, une fois que les facteurs économiques auront initié une hausse des prix :
« la spéculation déterminera alors d’autres nouveaux achats. Les acheteurs initiaux, désireux de réaliser leurs gains spéculatifs, seront facilement relayés par de nouvelles couches d’acheteurs. A chaque étape, la hausse précédente servira de base et de début d’une nouvelle augmentation. C’est un phénomène essentiel (Vigneaux). »Ce processus montre que la hausse ou la baisse des prix se nourrit d’elle-même. Mais ce processus ne peut être indéfini. Il existe une force de rappel. En effet, les individus prennent conscience des exagérations commises, ce qui les amène progressivement à corriger leurs évaluations, déclenchant ainsi un retournement de marché. Un processus baissier cumulatif commence alors à se développer.
Un phénomène similaire mais inverse s’est produit lors de la fin de grands marchés baissiers (décembre 1974, août 1982, novembre 1987, octobre 2002, mars 2003, mars 2020 pour le S&P500 ou le Nasdaq, points similaires pour le CAC40 compte tenu de la prépondérance de Wall Street au niveau mondial).
Principe 6 Variables décalées
Le problème de l’autocorrélation positive a été rencontré dans tous les modèles que nous avons conçus. Il est causé par le fait que les chocs aléatoires qui ne sont pas entièrement expliqués par les variables indépendantes (ou variables explicatives) ont tendance à avoir un effet persistant sur la variable dépendante (S&p500 par exemple). Le fait qu’une erreur positive reste positive dans les mois suivants peut être attribué à l’inertie ou à la résistance au changement de la part des investisseurs.
Nous remarquons également que l’adaptation d’une relation linéaire à une relation qui se conforme souvent à une relation non linéaire entraîne la présence d’autocorrélation et la nécessité de traiter ce problème. Contrairement à la multi-colinéarité qui place un biais descendant sur les T mesurés, l’autocorrélation positive se traduit par des T mesurés biaisés vers le haut.
L’utilisation de variables décalées est également justifiée par l’utilisation de graphiques et d'analyses techniques par de nombreux opérateurs sur le marché – l’analyse technique est une pratique consistant à prédire les mouvements de prix futurs en essayant de repérer les formes géométriques et autres régularités dans les graphiques de prix historiques .
Enfin, on peut supposer que de nombreux phénomènes économiques ou financiers sont influencés par l’ancrage (anchoring en anglais). Le phénomène d’ancrage semblerait pertinent pour la théorie des « prix collants » dont parlent les macroéconomistes. Tant que les prix passés sont considérés comme des suggestions de nouveaux prix, les nouveaux prix auront tendance à être proches des prix passés. Plus la valeur d’un produit est ambiguë, plus une suggestion est susceptible d’être importante, et plus l’ancrage est susceptible d’être important pour la détermination du prix.
Principe 7 Utilisation de « dummy » variables (variables muettes)
La relation entre les variables dépendantes et indépendantes peut subir un changement structurel également connu sous le nom d’instabilité structurelle ou de rupture structurelle, c’est-à-dire que la relation change d’une période à l’autre. En ce qui concerne le modèle des mines d’or, la réglementation du prix de l’or avant la décision Nixon en 1971 a entraîné une réduction significative de la valeur des actions aurifères de 1966 à 1972. Le coefficient de la variable nominale (1 de 1966 à 1971 pour les modèles mensuels et trimestriels des actions Gold, 0 sinon) était à la fois négatif et significatif au niveau de 1%.
Une autre rupture structurelle survenue en novembre 1980 (point culminant du taux d’inflation américain) prise en compte avec une variable discrète (valeur 0 ou 1) a également été constatée pour le modèle d’évaluation du S&P500. Principe 8 Stabilité des modèles Un modèle à équation unique peut avoir des statistiques T significatives et un R2 élevé mais produire des prévisions médiocres. Cela peut résulter d’un changement structurel survenant au cours de la période de prévision qui n’est pas expliqué par le modèle.
Principe 8 Utilisation de l'IA (Chatgpt)
Nous utilisons CHATGPT 4o réhaussé par le module ADA, Advanced Data Analysis (nom du GPTS) afin d’analyser et prédire l’évolution des résidus de nos modèles structurels (cf notion de transfer model - principe 4). Le lien ci-dessous reprend un exemple de traitement par IA (ARIMA Modeling). Cliquer Ici
Nous joignons ici une étude décrivant les performances remarquables des modèles d'IA (Chatgpt 4o par exemple) en matière de régression linéaire et non linéaire. Nous commenterons prochainement cet article dans le blog de ce site.
